BerandaComputers and TechnologyDari Persamaan Diophantine to Fermat's Last Theorem (2011)

Dari Persamaan Diophantine to Fermat's Last Theorem (2011)

Oleh Susam Pal pada 12 Jan 2011

Berikut adalah teka-teki yang saya buat baru-baru ini untuk teman-teman saya yang suka memanjakan diri dalam matematika rekreasi:

Temukan semua solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut [ y^2 + 3=frac{x^3}{18}.]

Jika Anda ingin memikirkan teka-teki ini, inilah saat yang tepat untuk berhenti sejenak dan Pikirkan tentang itu. Ada spoiler di depan.

Tidak butuh waktu lama untuk menyadari bahwa ini adalah persamaan Diophantine bentuk (a ^ n + b ^ n=c ^ n. ) Berikut adalah bagaimana persamaan tersebut terlihat mengatur ulang istilah: [ x^3=18y^2 + 54.]

Ruas kanan positif, jadi setiap (x ) yang memenuhi ini persamaan juga harus positif, yaitu, (x> 0 ) harus bernilai baik untuk apa saja solusi (x ) dan (y. )

Juga, jika beberapa (y ) memenuhi persamaan tersebut, maka (-y ) juga memenuhi persamaan karena nilai sisi kanan tetap menjadi sama untuk (y ) dan (-y. )

Ruas kanan adalah (2 (9y ^ 2 + 3 ^ 3). ) Ini adalah bentuk ( 2 (3a ^ 2b + b ^ 3) ) di mana (a=y ) dan (b=3. ) Sekarang (2 (3a ^ 2b + b ^ 3)=(a + b) ^ 3 – (a – b) ^ 3. ) Menggunakan detail ini, kami mendapatkan begin {align *} x ^ 3=18y ^ 2 + 54 & iff x ^ 3=2 (9y ^ 2 + 3 ^ 3) \ & iff x ^ 3=(y + 3) ^ 3 – (y – 3) ^ 3 \ & iff x ^ 3 + (y – 3) ^ 3=(y + 3) ^ 3. end {align *}

Dari Teorema Terakhir Fermat, kita tahu bahwa persamaan bentuk (a ^ n + b ^ n=c ^ n ) tidak memiliki solusi apa pun untuk bilangan bulat positif (a, ) (b, ) (c, ) dan bilangan bulat positif (n> 2. ) Oleh karena itu kami tiba pada batasan berikut untuk setiap (x ) dan (y ) yang memenuhi persamaan: begin {align *} & x> 0, \ -3 le & y le 3. end {align *}

Kami menetapkan kendala pertama sebelumnya ketika kami membahas bahwa (x ) harus positif. Batasan kedua mengikuti dari Fermat’s Last Dalil. Jika ada solusi (x ) dan (y ) seperti (x> 0 ) dan (y> 3, ) lalu (x ^ 3 + (y – 3) ^ 3=(y + 3) ^ 3 ) akan bertentangan dengan Teorema Terakhir Fermat. Oleh karena itu (y le 3 ) harus menahan baik. Selanjutnya karena untuk setiap solusi (x ) dan (y, ) ada juga solusi (x ) dan (-y, ) (-y le 3 ) juga harus menahan baik.

Karena (y ) harus merupakan salah satu dari tujuh bilangan bulat antara (-3 ) dan ( 3, ) inklusif, kita dapat mencoba memecahkan (x ) dengan masing-masing dari ketujuh ini nilai (y. ) Ketika kita melakukannya, kita menemukan bahwa hanya ada dua nilai dari (y ) yang kita dapatkan solusi integer untuk (x. ) Mereka adalah (y=3 ) dan (y=-3. ) Dalam kedua kasus, kita mendapatkan (x=6. ) Oleh karena itu, solusi untuk persamaan yang diberikan adalah: begin {align *} x &=6 \ y &= pm 3. end {align *}

Read More

RELATED ARTICLES

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Most Popular

Recent Comments